连分数递归公式:设

\begin{align*}

\frac{p_n}{q_n}=[a_0,a_1,\cdots,a_n]=a_0+\dfrac{1}{a_{1}+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\ddots

+\dfrac{1}{a_n}}}}

\end{align*}

其中$a_0,a_1,a_2,\cdots$视为变量而不是特定的值,则分子$p_0,p_1,p_2,\cdots$由递归公式

\begin{equation}

p_0=a_0,p_1=a_1a_0+1,p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}(n\geq 2)

\end{equation}

给出，而分母$q_0,q_1,q_2,\cdots$由递归公式

\begin{equation}

q_0=1,q_1=a_{1},q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}(n\geq 2)

\end{equation}

给出.

 

证明:使用数学归纳法.当$n=0$时，$\frac{p_0}{q_0}=a_0$.此时，可以令$p_0=a_0,q_0=1$.设当$n=k$时，递推式成立，则即此时可以令

\begin{equation}\label{eq:1111111111}

p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}

\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:11111111111}

q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}

\end{equation}

则$n=k+1$时，我们把\ref{eq:1111111111}和\ref{eq:11111111111}中的$a_k$用$a_k+\frac{1}{a_{k+1}}$代替.可得

\begin{equation}\label{eq:222}

p_{k+1}=(a_k+\frac{1}{a_{k+1}})p_{k-1}+p_{k-2}

\end{equation}且

\begin{equation}\label{eq:22}

q_{k+1}=(a_k+\frac{1}{a_{k+1}})q_{k-1}+q_{k-2}

\end{equation}

\ref{eq:222}即

\begin{equation}\label{eq:1224}

p_{k+1}=p_k+\frac{p_{k-1}}{a_{k+1}}

\end{equation}

\ref{eq:22}即

\begin{equation}\label{eq:1225}

q_{k+1}=q_k+\frac{q_{k-1}}{a_{k+1}}

\end{equation}

将\ref{eq:1224}和\ref{eq:1225}的右边都乘以$a_{k+1}$,$\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}$的值不会变.因此变为

\begin{equation}

p_{k+1}=a_{k+1}p_k+p_{k-1}

\end{equation}且

\begin{equation}

q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}

\end{equation}

根据数学归纳法，命题得证.